A remark by mathematician Etienne Klein this morning on France-Culture set me thinking about the question of how to give an image of the infinite. In the nineteenth century, George Cantor demonstrated that there were as many whole numbers as even numbers, that is to say an infinite number. This seems to run counter to common sense, as intuitively, we feel there are twice as many whole numbers as even numbers. To prove the equivalence, you just have to perform a bijection, that is to say to associate each whole number with its double, which is an even number (1 with 2, 2 with 4, 3 with 6, etc...). There is no reason to stop at any point, since there is an infinite number of numbers... Which means that a sub-set may be as big as the set it is included in, which is difficult to believe, as Klein said this morning, but also, I think, difficult to represent. We are close to the limits of what can be understood via an image...
Une chronique du mathématicien Etienne Klein ce matin à France-Culture me fait me poser la question de l'illustration de l'infini. Au dix-neuvième siècle, George Cantor a démontré qu'il y avait autant de nombres entiers que de nombres pairs, c'est-à-dire un nombre infini. Ceci semble contraire au sens commun, puisque intuitivement on pense qu'il y a deux fois plus de nombres entiers que de nombres pairs. Pour prouver l'équivalence, il suffit de faire une bijection, c'est-à-dire d'attribuer à chaque nombre entier son double, qui est pair (à 1, 2; à 2, 4; à 3, 6, etc...). Il n'y a en effet pas de raison que cela s'arrête, puisqu'il existe un nombre infini de nombres.... Ce qui signifie que la partie d'un ensemble peut être aussi vaste que l'ensemble qui le contient, ce qui est difficile à croire, en effet, comme le disait Klein ce matin, mais aussi, je pense, à représenter.On touche là les limites de ce qui peut se faire comprendre par un dessin...
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire