PASCAL'S TRIANGLE AND FIBONACCI SEQUENCE/LE TRIANGLE DE PASCAL ET LA SUITE DE FIBONACCI

Fibonacci was a thirteenth-century Italian mathematician who contributed to the introduction of Arabic mathematics into the West in Liber Abaci (1202). The sequence of numbers named after him is easy to find : you just add the last two numbers to produce the next one. Starting with 0 and 1, you get 0+1 = 1; so you get 0, 1, 1. Your next number is going to be 1+1 = 2. So your sequence is building up : 0, 1, 1, 2. You continue and get 1+2 = 3. And so on. Which gives for the first few numbers : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, etc...The first figure, 0, is not always mentioned. You can see how the numbers get bigger and bigger quite quickly after a slow beginning. How is it linked to illustration? Mathematicians say that the sequence gives you a clue to the construction of spirals. If represented in the following manner, you see how natural spirals, such as shells, or pine cones, or cauliflowers are built...


Fibonacci était un mathématicien italien du treizième siècle qui a contribué à l'introduction des mathématiques arabes en Occident dans son ouvrage Liber Abaci (1202). La série de chiffres qui porte son nom est facile à trouver: il suffit d'ajouter les deux derniers chiffres pour trouver le suivant. Si on part de 0 et 1, cela donne 0+1=1, et la série débute donc par 0,1,1. Le chiffre suivant va être 1+1=2. La suite devient 0,1,1,2. On continue ainsi pour parvenir à 1+2=3. Et ainsi de suite. Ce qui fait que les premiers chiffres de la série vont être : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,etc. Le 0 n'est pas toujours mentionné. On voit combien les chiffres deviennent rapidement assez grands après un début qui semble assez lent. En quel sens cela est-il lié à l'illustration? Et bien, les mathématiciens disent que cette suite vous donne les éléments pour construire les spirales. Si on représente les premiers chiffres comme ci-dessous, on voit comment les spirales dans la nature, comme celles des coquillages, des pommes de pins, ou des choux-fleurs, sont construites....

















Lots of mathematicians on the web try to show you how to build the Fibonacci sequence and how to solve mathematical riddles with it. One very good example, from the University of Surrey, below.

De nombreux mathématiciens sur la toile vous montre comment construire la suite de Fibonacci et résoudre des problèmes mathématiques avec. Un bon exemple ci-dessous, proposé par l'université de Surrey.

fibonacci university of Surrey

Now, what is the link to Pascal's triangle (which was not invented by Pascal, but is named after him because of his 1654 Traité du triangle arithmétique)? First, a few words on how to build this triangle. The easiest way to find out the numbers in a Pascal's triangle is by designing a pyramid, with the number 1 on either side, for every row, and add up the numbers directly above the one you want to get:


En quoi la suite de Fibonacci est-elle liée au triangle de Pascal (qui n'a pas été inventé par Pascal, mais qui a été nommé triangle de Pascal à cause de son Traité du triangle arithmétique de 1654)? D'abord, voyons comment construire ce triangle. La façon la plus simple de trouver les chiffres qui le composent et de dessiner une pyramide dont chaque bout de ligne est le chiffre 1, et ensuite d'additionner les deux chiffres qui se trouvent directement au-dessus de celui qu'on veut trouver :

For instance, here on the third row from the top, you get the 2 by adding up the two numbers 1 directly above; on the fifth line, 1+3 = 4; on the line below, 4+1 = 5; and still below, 5+10 and 10+5 = 15, as I have tried to indicate using reddish lines. Once you get the proper pyramid-style pattern, you can easily fill the gaps. 

Par exemple, ci-dessus, à la troisième rangée à partir du haut, on obtient le 2 à partir de l'addition des deux 1 de la rangée du dessus; sur le cinquième rang, 1+3=4; à la rangée en-dessous, 4+1=5; encore plus bas, 5+10 et 10+5 = 15, comme j'ai essayé de l'indiquer par des petits traits rouges. Une fois qu'on a le dessin du triangle, il est  facile de remplir les cases.

How is it linked to Fibonacci? Because if you present this triangle slightly differently, on its side, as Pascal did, you are going to find, by adding up the figures in the diagonals, the Fibonacci numbers! see below : 

Comment es-ce lié à Fibonacci? Parce que si vous présentez le triangle un peu différemment, sur le côté, comme Pascal l'avait présenté, vous retrouvez, en additionnant les chiffres des diagonales, la suite de Fibonacci! Voyez ci-dessous:

All this I have learnt from the web, including Wikipedia sites and others. The arranging of numbers in this manner, the construction of shapes with numbers, is so much more enjoyable to learn maths and the link between the images and the numbers seems almost magical!

J'ai appris tout cela en flânant sur le web, sur beaucoup de sites Wikipédia et autres. L'arrangement des nombres de cette manière, la construction de formes par empilement de chiffres, rend l'apprentissage des maths tellement plus joyeux, et le lien entre les images et les nombres semble presque magique!